Normal Dağılım Hesaplama: Z Skoru, Olasılık ve Çan Eğrisi

Ortalama ve standart sapmayı yaz; bir değerden küçük, büyük ya da iki değer arasında kalma olasılığını z skoru ve taralı çan eğrisiyle bul, ya da istediğin yüzdeliğe karşılık gelen sınır değeri hesapla

Hazırlayan: Ahmet Bilgiç · Son güncelleme: 8 Ekim 2026

Normal dağılım nasıl hesaplanır?

Ortalamayı, standart sapmayı ve aradığın olasılığın türünü seç. IQ puanları ortalaması 100, standart sapması 15 olan normal dağılıma uyar. Birinin 130'dan düşük puan alma olasılığını bulmak için x = 130 yaz: z = (130 − 100) ÷ 15 = 2 olur, yani 130 ortalamanın 2 standart sapma üstündedir. Çan eğrisinde z = 2'nin solunda kalan alan 0,97725'tir: insanların yaklaşık %97,72'si 130'un altında, %2,28'i üstündedir. 85 için z = −1 olur ve 85'in altında kalma olasılığı 0,15866 çıkar. İki değer arası modunda 85 ile 115'i yazarsan 0,68269 bulursun; bu, ortalamanın bir standart sapma altı ile üstü arasında değerlerin %68,27'sinin bulunduğunu söyleyen 68–95–99,7 kuralının ilk basamağıdır. Ters yönde 'en üstteki %10'a girmek için kaç puan gerekir?' sorusu için Yüzdelikten değer bul modunda 90 yaz: z = 1,2816 ve sınır 100 + 1,2816 × 15 = 119,22 çıkar.

z skoru: z = (x − μ) ÷ σ Sol kuyruk: P(X < x) = Φ(z) = ½ × [1 + erf(z ÷ √2)] Sağ kuyruk: P(X > x) = 1 − Φ(z) İki değer arası: P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a) Ters: x = μ + z × σ, z = Φ⁻¹(p) Kural: μ ± 1σ içinde %68,27; μ ± 2σ içinde %95,45; μ ± 3σ içinde %99,73

Z tablosu kullanırken yapılan hatalar

Tablonun hangi alanı verdiğini kontrol etmemek. Bazı kitaplardaki z tablosu soldan z'ye kadar olan alanı (z = 1 için 0,8413), bazıları 0'dan z'ye kadar olan alanı (0,3413) verir. Yanlış tabloyla '115'ten küçük olma olasılığı' sorusuna 0,3413 yazılır; doğrusu 0,8413'tür. Araç her zaman soldan alanı ve sağ kuyruğu ayrı satırda yazar.
Varyansı standart sapma yerine koymak. Varyans 225 ise σ = 15'tir; 225 yazılırsa 130 için z = 0,13 çıkar ve olasılık 0,97725 yerine 0,55'e düşer.
Büyük olma olasılığını doğrudan tablodan okumak. 130'dan büyük olma olasılığı 1 − 0,97725 = 0,02275'tir; tablodaki 0,97725'i cevap olarak yazmak, %2'lik bir olayı %98 sanmaktır.
Kesikli veriyi düzeltmesiz hesaplamak. Tam sayı puanlarda 'en az 60 alma' olasılığı için x = 59,5 almak (süreklilik düzeltmesi) sonucu düzeltir; sorunun bunu isteyip istemediğine bak.

Gerçek hayatta normal dağılım: baraj, kalite sınırı ve persentil

Üretimde aynı hesap kalite sınırı koymak için kullanılır: dolum makinesi ortalama 500 ml, standart sapma 4 ml doluyorsa 490 ml'nin altında kalan şişelerin oranı z = −2,5 için %0,62'dir; her 10.000 şişeden yaklaşık 62'si sınırın altında kalır. Bir sınav puanının sınıf içindeki yerini görmek için yüzdelik dilim satırına bak: z = 1 olan öğrenci sınıfın yaklaşık %84'ünden yüksek almıştır.

Veri setinin ortalamasını ve standart sapmasını henüz bilmiyorsan önce ortalama hesaplama aracıyla bul. Sayılar başarı/başarısızlık gibi iki sonuçlu denemelerden geliyorsa (10 atışta kaç isabet) doğru model binom dağılımı hesaplama aracıdır; deneme sayısı büyüdükçe binom dağılımı normal dağılıma yaklaşır.

Ortalaması 100, standart sapması 15 olan bir dağılımda sık sorulan sınırlar şöyledir:

Soru	z	Değer	Olasılık
En üstteki %2,28'in sınırı	2	130	P(X > 130) = 0,02275
En üstteki %10'un sınırı	1,2816	119,22	P(X > 119,22) = 0,10
En üstteki %5'in sınırı	1,6449	124,67	P(X > 124,67) = 0,05
Ortadaki %95'in sınırları	±1,96	70,60 – 129,40	0,95
85 ile 115 arası	±1	85 – 115	0,68269

Bu araç neyi hesaplamaz

Verinin normal (çan biçimli, simetrik) dağıldığını varsayar; gelir, bekleme süresi, ev fiyatı gibi sağa çarpık verilerde sonuç gerçek oranı yanlış verir — özellikle kuyruklarda hata büyür.
Küçük örneklemden hesaplanan ortalama için güven aralığı ya da hipotez testi yapıyorsan (30'dan az gözlem ve σ bilinmiyor) t dağılımı gerekir; bu araç t, ki kare ya da F dağılımı hesaplamaz.
Olasılıklar 5 ondalığa yuvarlanır; 0,00001'in altındaki kuyruk olasılıkları sayı yerine '0,00001'den küçük' işaretiyle gösterilir, altı sigma gibi çok uç değerlerin kesin büyüklüğü için yeterli değildir.
Kesikli veriler (tam sayı puanlar, adetler) için süreklilik düzeltmesini kendiliğinden uygulamaz; gerekiyorsa sınırı 0,5 kaydırarak kendin yazmalısın.

Normal dağılım hakkında sık sorulanlar

Z skoru nasıl hesaplanır?

Değerden ortalama çıkarılır ve sonuç standart sapmaya bölünür: z = (x − μ) ÷ σ. Ortalaması 70, standart sapması 10 olan bir sınavda 85 alan öğrencinin z skoru (85 − 70) ÷ 10 = 1,5'tir; ortalamanın 1,5 standart sapma üstündedir ve sınıfın yaklaşık %93,32'sinden yüksek almıştır.

Normal dağılımda iki değer arasındaki olasılık nasıl bulunur?

Her iki değerin z skoru bulunur, büyük z'nin sol alanından küçük z'nin sol alanı çıkarılır. Ortalama 100, σ 15 için 85 ile 115 arası: Φ(1) − Φ(−1) = 0,84134 − 0,15866 = 0,68269.

68-95-99,7 kuralı nedir?

Normal dağılımda değerlerin %68,27'si ortalamanın ±1 standart sapması, %95,45'i ±2 standart sapması, %99,73'ü ±3 standart sapması içinde kalır. IQ'da bu 85–115, 70–130 ve 55–145 aralıklarına denk gelir.

En yüksek yüzde 10'a girmek için kaç puan gerekir?

Alttan %90'a karşılık gelen z değeri 1,2816'dır; sınır puan μ + 1,2816 × σ olur. Ortalaması 60, standart sapması 12 olan sınavda 60 + 1,2816 × 12 = 75,38 puan gerekir. Araçta 'Yüzdelikten değer bul' modunu seçip 90 yazarak hesaplayabilirsin.

Kaynaklar

Bu araçtaki oran ve tutarlar aşağıdaki kaynaklardan alınmıştır. Son doğrulama: 8 Ekim 2026.

NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — 1.3.6.6.1 Normal Distribution — Normal dağılımın olasılık yoğunluk ve birikimli dağılım fonksiyonu; standart normal dağılım (μ = 0, σ = 1)
NIST Digital Library of Mathematical Functions — §7.2 Error Functions — 7.2.1: hata fonksiyonu erf tanımı (araçtaki Φ hesabının dayandığı fonksiyon)

Olasılık (0 ile 1 arası)

—

Bağlantı, girdiğin değerleri de taşır — yer imine ekleyebilir veya paylaşabilirsin.

NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — son doğrulama 8 Ekim 2026

Bu araç işine yaradı mı?