Karmaşık Sayı Hesaplama: Adım Adım Çarpma, Bölme ve Kök

Karmaşık sayı nasıl hesaplanır?

Sayıyı a + bi biçiminde düşün: i'siz kısım gerçek kısım, i'nin önündeki sayı sanal kısımdır. (3 + 4i)(1 − 2i) için a = 3, b = 4, c = 1, d = −2 yaz ve Çarp'ı seç. Araç parantezleri dağıtır: 3 − 6i + 4i − 8i². i² = −1 olduğundan −8i² = +8 olur, gerçekler 3 + 8 = 11, sanallar −6i + 4i = −2i toplanır ve sonuç 11 − 2i çıkar. Aynı iki sayıyı bölmek için Böl'ü seç: pay ve payda paydanın eşleniği 1 + 2i ile çarpılır, pay (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i, payda 1² + 2² = 5 olur; −5 ÷ 5 = −1 ve 10 ÷ 5 = 2 verir, sonuç −1 + 2i. Kutupsal biçimde 3 + 4i için modül √(9 + 16) = 5, argüman atan2(4, 3) = 53,13° (0,9273 rad) çıkar. Kare almak için Kuvvet ve n = 2 seç: modül 5² = 25, açı 106,26° olur, geri çevrilince −7 + 24i bulunur.

Karmaşık sayıda en sık yapılan dört hata

• i²'yi +1 almak. (2 + 3i)(2 − 3i) çarpımında 4 − 6i + 6i − 9i² çıkar; i² = −1 olduğu için sonuç 4 + 9 = 13'tür. i² = 1 alan öğrenci 4 − 9 = −5 bulur ve işaretin nereden kaydığını göremez.
• Bölmede yalnız paydayı eşlenikle çarpmak. Eşlenik kesrin hem payına hem paydasına aynı anda yazılır; yalnız paydaya yazılırsa kesrin değeri değişir. Payda c² + d² olur ve her zaman pozitif bir gerçek sayıdır: 1 − 2i için 1 + 4 = 5.
• Argümanı düz arctan(b/a) ile bulmak. −3 − 4i için arctan(−4 / −3) = arctan(1,333) = 53,13° verir, oysa nokta üçüncü bölgededir ve doğru açı −126,87° (ya da 233,13°) olur. Araç bu yüzden işaretleri ayrı ayrı okuyan atan2(b, a) kullanır.
• Karekökün iki cevabı olduğunu unutmak. −4'ün karekökleri 2i ve −2i'dir; n. dereceden köklerin sayısı her zaman n'dir. Ders kitabının 'asıl kök' dediği değer k = 0 olanıdır, öteki kökler aynı çember üzerinde 360° ÷ n arayla dizilir.

Kutupsal biçim ne işe yarar, düzlemde nasıl okunur?

Karmaşık sayı, yatay ekseni gerçek, dikey ekseni sanal kısım olan bir düzlemde tek bir noktadır. 3 + 4i noktası sağa 3, yukarı 4 birim gidilerek bulunur; orijine uzaklığı 5 (modül), pozitif gerçek eksenle yaptığı açı 53,13°'dir (argüman). Formun üstündeki çizim seçtiğin işlemdeki sayıları ve sonucu bu düzlemde ok olarak gösterir; çarpmada sonucun uzunluğunun iki uzunluğun çarpımı, açısının ise iki açının toplamı olduğunu buradan görebilirsin: |3 + 4i| = 5, |1 − 2i| = 2,2361, çarpımları 11,1803 = |11 − 2i|.

Bu özellik yüzünden kuvvet ve kök alırken a + bi biçimi yerine kutupsal biçim kullanılır. (1 + i)⁸'i parantez açarak hesaplamak sekiz çarpma ister; kutupsal biçimde modül √2, açı 45° olduğundan sonuç (√2)⁸ = 16 ve açı 8 × 45° = 360° yani 0° olur: 16. Elektrik mühendisliğinde alternatif akım devrelerinin empedansı (direnç + reaktans) aynı biçimde yazılır; 4 + 3j ohm'luk bir empedansın büyüklüğü 5 ohm, faz açısı 36,87°'dir. Matematikte i, elektrikte j harfi kullanılır, hesap aynıdır.

Gerçek katsayılı ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı negatif çıkarsa kökler birbirinin eşleniği iki karmaşık sayıdır; o kökleri ikinci dereceden denklem hesaplama aracıyla bulup burada çarparak sağlamasını yapabilirsin: x² − 2x + 5 = 0'ın kökleri 1 + 2i ve 1 − 2i'dir, çarpımları 5, toplamları 2'dir. Gerçek bir sayının karekökü için karekök hesaplama aracı daha kısa yoldur.

Bu araç neyi hesaplamaz

• Yalnız iki sayı arasında tek bir işlem yapar; (2 + i)(3 − i) + 4i gibi birden çok adımlı bir ifadeyi ya da içinde z geçen bir denklemi tek seferde çözmez — adımları sırayla girmen gerekir.
• Sonuçlar ondalık olarak 4 basamağa yuvarlanır; 1/3 + 2/3i gibi kesirli tam cevap gösterilmez, sınavda kesir istenirse ondalığı kendin kesre çevirmelisin.
• Kuvvet en çok 30, kök derecesi 2 ile 12 arasıdır; negatif ve kesirli üsler, karmaşık üs (i^i gibi) ve karmaşık logaritma hesaplanmaz.
• Argüman −180° ile 180° arasında verilir; ders kitabın 0° ile 360° aralığını kullanıyorsa negatif açıya 360° eklemen gerekir.

Karmaşık sayı hakkında sık sorulanlar

Karmaşık sayılarda bölme nasıl yapılır?

Pay ve payda, paydanın eşleniğiyle (sanal kısmının işareti ters çevrilmiş hâliyle) çarpılır; böylece paydadaki i kaybolur. (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) için eşlenik 1 + 2i'dir: pay (3 + 4i)(1 + 2i) = 3 + 6i + 4i + 8i² = −5 + 10i, payda 1² + 2² = 5. Her kısmı 5'e böldüğünde sonuç −1 + 2i olur.

i² neden −1'e eşittir?

i, karesi −1 olan sayı olarak tanımlanmıştır; gerçek sayılarda karesi negatif çıkan sayı olmadığı için bu yeni sayı eklenmiştir. Sonuç olarak i³ = −i, i⁴ = 1 olur ve kuvvetler 4'te bir tekrar eder: i¹⁰ = i² = −1.

Karmaşık sayının modülü ve argümanı nasıl bulunur?

Modül, noktanın orijine uzaklığıdır: |a + bi| = √(a² + b²). Argüman, pozitif gerçek eksenle yapılan açıdır ve sayının hangi bölgede olduğuna dikkat edilerek bulunur. 3 + 4i için modül 5, argüman 53,13°; −3 + 4i için modül yine 5, argüman 126,87°'dir.

Bir karmaşık sayının küpkökleri nasıl bulunur?

Sayı kutupsal biçime çevrilir, modülün küpkökü alınır ve açı 3'e bölünür; sonra açıya 120° ve 240° eklenerek diğer iki kök bulunur. −8 için modül 8, açı 180°'dir: kökler 2·(cos 60° + i sin 60°) = 1 + 1,7321i, 2·(cos 180°) = −2 ve 1 − 1,7321i olur.

Kaynaklar

Bu araçtaki oran ve tutarlar aşağıdaki kaynaklardan alınmıştır. Son doğrulama: 8 Ekim 2026.

• NIST Digital Library of Mathematical Functions — §1.9 Calculus of a Complex Variable — §1.9(i): karmaşık sayının kutupsal gösterimi, modül ve faz (argüman), çarpma ve bölmede modül/faz kuralları; 1.9.22: De Moivre teoremi