Mod Alma Hesaplama (Modüler Aritmetik)

Mod alma nasıl hesaplanır?

Mod almak, bir sayıyı başka bir sayıya bölüp yalnız kalanı yazmaktır. 100 mod 7 için 100'ü 7'ye bölersin: 7 × 14 = 98, artan 2'dir; kâğıda 100 ≡ 2 (mod 7) yazarsın ve "100, mod 7'de 2'ye denktir" diye okursun. Kalan her zaman 0 ile n − 1 arasında olur, bu yüzden 7'ye göre kalan 0, 1, 2, 3, 4, 5 ya da 6'dan biridir. Eksi sayıda aynı kural geçerlidir: −17'yi 5'e bölerken bölümü −4 alırsın, çünkü 5 × (−4) = −20 ve −17 − (−20) = 3; sonuç 3'tür. Kısa yol: önce 17'nin kalanını bul (2), sonra 5'ten çıkar (5 − 2 = 3). Üslü sayılarda 2¹⁰⁰'ü hesaplamaya gerek yoktur; 2'nin kuvvetlerinin 7'ye göre kalanlarını sırayla yazarsın: 2, 4, 1, 2, 4, 1 … Kalanlar üç adımda bir tekrar eder. 100'ü 3'e bölünce kalan 1 çıktığı için 2¹⁰⁰ ile 2¹ aynı kalanı verir: cevap 2.

Devir yöntemi: üslü sayının kalanını elle bulmak

Devir her zaman 1'e dönmez. Taban ile modül ortak bölen taşıyorsa (2 ve 8 gibi) kalanlar 2, 4, 0, 0 … diye sıfırda takılır; o zaman yeterince büyük her üs için cevap 0'dır. Araç bu durumu da ayrıca yazar: hangi kuvvetten sonra tekrarın başladığını gösterir, böylece devre girmeyen ilk kalanları yanlışlıkla saymazsın.

Birler basamağı soruları aslında mod 10 sorusudur: bir sayının son rakamı, o sayının 10'a bölümünden kalandır. Son iki basamak isteniyorsa modül olarak 100 yaz. Saat soruları mod 12 ya da mod 24, hafta soruları mod 7 ile çözülür; hepsi aynı kuralın farklı modülle uygulanmasıdır.

Lise sorularında en sık istenen iş, çok büyük bir üssün kalanını bulmaktır. Tabanın kuvvetlerini sırayla modda yazarsın; kalan ilk kez 1'e döndüğü yerde devir kapanır. Aşağıdaki tablo üç sık örneği gösterir:

Üssün devre bölümünden kalan 0 çıkarsa devrin son elemanını alırsın: 3⁴⁸ mod 5 için 48 = 4 × 12 + 0, cevap 3⁴ ile aynı, yani 1.

Denklik çözerken üç sık hata

Birincisi, denkliği eşitlik gibi bölmektir. 3·x ≡ 4 (mod 7) denkliğinde iki tarafı 3'e bölemezsin, çünkü 4/3 tam sayı değildir. Doğru adım, 3'ün mod 7'deki tersini bulmaktır: 3 × 5 = 15 ve 15 mod 7 = 1 olduğundan ters 5'tir. İki tarafı 5 ile çarparsın: x ≡ 20 ≡ 6 (mod 7). Sağlaması 3 × 6 = 18, 18 mod 7 = 4.

İkincisi, her denkliğin tek çözümü olduğunu sanmaktır. 4·x ≡ 2 (mod 6) için EBOB(4, 6) = 2 ve 2 sayısı 2'ye bölündüğü için 0 ile 5 arasında iki çözüm vardır: x = 2 ve x = 5. Buna karşılık 4·x ≡ 3 (mod 6) denkliğinin hiç çözümü yoktur, çünkü sol taraf her zaman çift bir kalan verir. Araç önce EBOB'u yazar, çözüm sayısını oradan söyler.

Üçüncüsü, eksi kalan yazmaktır. Bazı hesap makineleri ve programlama dilleri −17 mod 5 için −2 gösterir; okul ve sınav kitaplarında ise kalan 0 ile n − 1 arasında olmak zorundadır, yani doğru cevap 3'tür. −2 ile 3 aynı denklik sınıfındadır (aralarındaki fark 5), ama şıklarda yalnız 3 bulunur.

Gün ve saat sorularında mod 7 ile mod 12

"Bugün salı ise 100 gün sonra hangi gündür?" sorusunda her 7 gün haftayı başa sardığı için yalnız 100'ün 7'ye bölümünden kalan önemlidir: 100 = 7 × 14 + 2. On dört tam hafta gün adını değiştirmez, kalan 2 gün salıdan ileri sayılır: çarşamba, perşembe. Cevap perşembedir. Geriye sayarken kalan kadar geri gidersin; 100 gün önce için salıdan iki gün geri, yani pazar çıkar.

Saat sorularında modül 12 ya da 24'tür. Saat 9'dan 50 saat sonrası için 50 mod 24 = 2, sonuç 11 olur; aynı soru 12'lik kadranda sorulursa 9 + 50 = 59 ve 59 mod 12 = 11. Takvimde ay ve yıl uzunlukları değiştiği için "300 gün sonra hangi tarih" sorusu mod ile değil, gün sayan bir tarih aracıyla çözülür; bu araç yalnız haftanın gününü verir.

Modüler aritmetik nerede karşına çıkar?

Okulda 9. sınıf matematiğinde ve TYT-AYT sorularında kalan, birler basamağı ve gün problemleri olarak gelir. Gündelik hayatta da her yerdedir: T.C. kimlik numarasının son iki hanesi önceki hanelerin toplamlarından mod 10 ile üretilir, IBAN numarasının kontrol haneleri mod 97 ile denetlenir, eski 10 haneli ISBN kitap numarası mod 11 kullanır. Kart numarasını yanlış yazdığında sitenin hemen "geçersiz" demesi de aynı kalan hesabıdır.

Toplama ve çarpmada kalan kuralı işini kısaltır: büyük sayıları önce modda küçültüp sonra işlem yaparsın. 123 × 456 sayısının 9'a göre kalanı için çarpımı bulmana gerek yoktur; 123 ≡ 6 ve 456 ≡ 6 olduğundan 6 × 6 = 36 ≡ 0, yani çarpım 9'a tam bölünür. Bölme işleminin kalanını ve bölümünü uzun bölme olarak görmek istersen bölme işlemi aracını, ortak bölen bulmak için EBOB EKOK aracını kullanabilirsin.

Bu araç neyi hesaplamaz

• Yalnız tam sayılarla çalışır; ondalıklı ya da kesirli bir sayının modunu almaz, 7,5 mod 2 gibi soruları önce tam sayıya çevirmen gerekir.
• Sayılar en çok 1 katrilyon, modül en çok 1 milyar olabilir; şifreleme alanındaki yüzlerce basamaklı sayılar için tasarlanmadı.
• Gün sorusunda yalnız haftanın gününü bulur; kaçıncı ayın kaçı olduğunu, artık yılı ve resmî tatilleri hesaba katmaz.
• Üslü modda tabanı ve üssü artı tam sayı olarak alır; eksi taban ya da eksi üs (modüler ters gerektiren 3⁻¹ gibi) bu modda çözülmez, tersi denklik modunda bulabilirsin.

Mod alma hakkında sık sorulanlar

Mod alma ne demek, nasıl yapılır?

Mod almak, bir sayıyı modüle bölüp bölümü bırakıp yalnız kalanı yazmaktır. 23 mod 5 için 23 = 5 × 4 + 3 olduğundan cevap 3'tür. Sayı modülden küçükse kalan sayının kendisidir: 4 mod 9 = 4.

Eksi bir sayının modu nasıl alınır?

Kalanın 0 ile n − 1 arasında kalmasını sağlayan bölümü seçersin. −17 mod 5 için 5 × (−4) = −20 alınır, kalan −17 − (−20) = 3 olur. Pratik yol: sayının eksisiz hâlinin kalanını bul (17 mod 5 = 2) ve modülden çıkar (5 − 2 = 3). Kalan 0 çıkarsa sonuç da 0'dır.

2 üzeri 100'ün 7 ile bölümünden kalan kaçtır?

2'dir. 2'nin kuvvetleri 7'ye göre 2, 4, 1 kalanlarını verip üç adımda bir tekrar eder. 100'ün 3'e bölümünden kalan 1 olduğu için 2¹⁰⁰ ile 2¹ aynı kalanı verir. Araçta "Üslü sayının kalanı" seçeneğini işaretleyip taban 2, üs 100, modül 7 yazarak devir satırlarını görebilirsin.

Modüler ters (a⁻¹ mod n) nasıl bulunur?

a ile çarpıldığında n'ye göre 1 kalanını veren sayı aranır. 3'ün mod 7'deki tersi 5'tir, çünkü 3 × 5 = 15 ve 15 mod 7 = 1. Ters yalnız EBOB(a, n) = 1 iken vardır; 4'ün mod 6'da tersi yoktur. Araçta denklik modunu seçip sağ tarafa 1 yazarsan tersi doğrudan bulursun.

Bir sayının birler basamağı mod ile nasıl bulunur?

Birler basamağı sayının 10'a bölümünden kalandır, bu yüzden modül olarak 10 yazarsın. 7²⁰²⁶ için 7'nin kuvvetleri 7, 9, 3, 1 diye dört adımda tekrar eder; 2026 = 4 × 506 + 2 olduğundan birler basamağı 7² ile aynıdır, yani 9.